谈谈进制

发表于 2023-06-27 更新于 2024-02-24 阅读次数：本文字数： 1.2k

注意本文讨论的都是正整数(负数同理)

什么是进制

其实就是一种计数方式，几进制就是逢几进一。例如八进制就是逢八进一。

可见八进制中单位从右往左依次是

这其实是我自己起的名，有没有这个概念，有的话叫什么名我也不知道

1
2

连续性：某一确定进制所能表示的数是连续的（即任何一个数在某一确定进制中都有其表达方式）
唯一性：一个数在某一确定进制中仅有一种表达方式

~~终于到正文了~~

这里我们约定进制为a 那么按照进制的概念数p就可以表示为 + + … +

即 p= + + … +

暂定为公式1

单位就是

因为
所以
所以
这是一个非常重要非常重要非常重要的公式

暂定为公式2

想要解决这个问题要想想好,什么是连续的数?
连续的数即为相差是1的数

那么对于任意某进制数d存在d+1那他就是连续的

d+1的过程可以分为两种情况进位时和不进位时

不进位时即为个位加1即位变化,这里是规定连续的. 就像十进制中的0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9是规定连续的

进位时

由上面公式1可知

我们把d拆为m和n (n是后面每一位都是这一位能表示的最大数的部分如1399中的99)

这时m中不为0的最小数位就是n中不为0的最大数位的后一位 (n中不为0的最大数位若为位, m中不为0的最小数位就是位)

那么由公式2可知 d+1 = m+(n+1) 就可以视为n变为0 m中不为0的最小数位进行不进位的+1

而不进位的+1已知连续
所以d+1存在

所以某一确定进制所能表示的数是连续的（即任何一个数在某一确定进制中都有其表达方式）

a进制中由公式2可知

又是位到位可以表示的最大数

所以位上无论何值都不能表示位可以表示的数, 同样的位上无论何值都不能表示位可以表示的数

所以一个数位上的数唯一,n可为任意值

所以一个数在某一确定进制中仅有一种表达方式