一道基础习题的启发 Exercise 1.15.Prove that for all integers a, b, m, n, if am+bn=e for some e, then (a,b) divides e. 这个题当然只用到了整除的基本性质，但我认为将他与Bézout's Lemma联系是
设我们讨论的是 \lim_{x\to a^+}f(x)=L. 右极限版本的海涅定理通常表述为： \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=L，当且仅当对任意从右侧严格递减趋于 a 的数列 (x_n)（各项在函数定义域内），都有 f(x_n)\to L。 它表达的是：为了判断右
对数求导法的基本思路很自然：遇到多个因子的乘积、商或幂，先取对数，把乘除化成加减，再求导。 但实际使用时，常常会遇到一个麻烦：实数范围内，对数的真数必须为正。原函数可能取负值；即使原函数为正，组成它的某些因子也可能为负。如果每次都按各个因子的正负划分区间，再逐段改写，计算就会变得繁琐。 一个很有用的
从补零表示到负整数次幂，再回到普通多项式 对于非零多项式，“次数”有一个直观的含义：找出系数不为零的项，其中最大的指数就是次数。但零多项式没有任何非零项，通常的定义便另外规定： \deg 0=-\infty. 这条规定为什么自然？如果非零多项式的次数最低是 0，为什么零多项式的次数会直接落到 -\i
初学抽象代数时，我们往往先遇到一串定义：群满足结合律、有单位元和逆元；环有加法和乘法，满足分配律；域要求每个非零元素都可逆。 但这些条件为什么这样选择？它们是人为规定的，还是有具体的历史动机？ 答案是：这些公理来自具体数学对象的共同规律。数学家先研究方程、置换、整数和多项式，再逐渐提炼出抽象结构。
一、原题与出处 出处： 2022年第十四届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类），填空题第1题，满分6分。 求极限： \boxed{ \lim_{x\to0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{1+x^2-\cos^2x} } 二、解题思路 先将分母等价替换为 2x^2，再在分子中
from Elementary Number Theory and Its Applications (Seven Edition) Kenneth H. Rosen Chapter 1
从一道极限问题出发，看看“有限”换成“无穷”之后，究竟改变了什么。 学习极限的运算法则时，我们会遇到这样一个结论： 有限个无穷小量的乘积，仍然是无穷小量。 这里的“有限个”似乎有些多余。既然每个因子都越来越小，多乘几个，结果不应该更小吗？那么，无穷多个无穷小量相乘，是否也一定是无穷小量？ 答案是：仅
一、行星运动模型设定 行星绕恒星（或任意质点）运动时，若忽略其他天体扰动，其受力可近似为有心力： \vec{F}(\vec{r}) = F(r)\,\hat{r}, \quad \hat{r} = \frac{\vec{r}}{r} 其中 \vec{r} 是行星相对于力心（恒星）的位置矢量，r=|\
