摘要： 由 u\sim v\to0，一般不能推出 f(u)\sim f(v)，即使三个函数都无穷次连续可导也不够。本文依次讨论三种条件：首先，要求 u,v,f 在 0 附近连续可导，并补充 v'(0)\ne0、f'(0)\ne0，先证明 u'/v'\to1，再直接对复合函数之比使用洛必达法则；其次，取消对 u,v 的可导性要求，允许 f 的首个非零导数出现在任意有限阶，通过泰勒公式证明结论；最后，取消对 f 的有限阶主项要求，给出“输入相对误差能一致控制输出相对误差”这一充要条件。第二种条件尤其适合常见的初等函数极限题，第三种条件则刻画了结论对所有等价无穷小成立的准确边界。
学习等价无穷小时，我们经常使用
因此，一个很自然的想法是：既然两个无穷小已经“足够接近”，把它们代入同一个函数，结果是不是仍然等价？
具体地说，已知
并且 f(t)\to0（t\to0），能否推出以下关系？
答案并不总是肯定的。追问这个问题，会遇到几个容易混淆的概念：绝对误差与相对误差、光滑性与渐近行为，以及充分条件与充要条件。
本文讨论实变量、实值函数，所有等价关系均采用比值趋于 1 的定义；涉及的分母均要求在充分小的去心邻域内非零。
1. 一个光滑函数给出的反例
取
显然
所以 u\sim v。
再取
当 t\to0 时，f(t)\to0。然而，
因此
这个反例中的 f 并没有不连续或不可导的问题。它在整个实数轴上无穷次连续可导，并且
这是因为对 t\ne0 反复求导，得到的每一项都是 e^{-1/t^2} 与 t 的某个负整数次幂的乘积，而
对任意固定的 N>0 都成立。利用这一性质，也可以逐阶验证各阶导数在 0 处存在且连续。
所以，即使要求 u,v,f 都无穷次连续可导，原命题依然可能失败。
2. 为什么一致连续还不够？
如果可导不够，那么要求 f 一致连续，是否就能控制误差？
一致连续控制的是绝对误差。当
时，它保证
但 f(u)\sim f(v) 要求的是
这里的分母 f(v) 也趋于 0，因此分子趋于 0 远远不够。我们需要分子相对于分母更小。
在本题中，f(u) 和 f(v) 本来就都趋于 0，所以它们的差趋于 0 并没有提供所需的相对误差信息。
上面的反例还说明，一致连续确实不足以排除问题：补上 f(0)=0 后，f 在闭区间 [-1,1] 上连续，因而一致连续；限制到去心邻域后仍然一致连续。
输入的相对误差很小，能否保证输出的相对误差也很小，才是问题的核心。
3. 第一种条件：约束输入，直接使用洛必达法则
面对
一个直接的想法是对分子、分母求导：
要让右侧趋于 1，我们需要同时控制这两个因子。
这里有两个需要区分的问题。首先，u/v\to1 不能一般地推出 u'/v'\to1；其次，即使已经知道 u'/v'\to1，也不能忽略 f'(u)/f'(v)。因此，直接使用洛必达法则需要分别对输入函数和外层函数添加条件。
条件一
在 u\sim v\to0 的基础上，假设：
- u,v 在 0 的某个邻域内连续可导，u(0)=v(0)=0，且 v'(0)\ne0；
- f 在 0 的某个邻域内连续可导，f(0)=0，且 f'(0)\ne0。
那么
其中，u(0)=v(0)=f(0)=0 也可以由各自的连续性与原有的无穷小条件得到。
第一步：由等价关系确定原点处的导数
因为 u(0)=v(0)=0，由导数定义及 u/v\to1，
因此
再由 u',v' 在 0 处连续，
这里证明的是导数比值的极限为 1，并不是说这个比值在邻域内恒等于 1。
第二步：控制外层函数的导数比值
由 u,v\to0 和 f' 在 0 处连续，
由于 f'(0)\ne0，有
于是
第三步：对复合函数之比使用洛必达法则
首先，由连续性，
所以这是 0/0 型极限。
其次，因为
分母的导数
在充分小的去心邻域内非零。
原比值本身也有定义：由
可知充分靠近 0 时 v(x)\ne0，且 f(v(x))\ne0。
因此，在左右两侧分别应用洛必达法则，得到
为什么还要寻找更弱的条件？
这个证明完整而直接，但它附加了较多要求：输入函数必须连续可导，并且 v'(0)\ne0；外层函数也必须具有非零的一阶导数。
这些要求有一部分只是为了方便使用洛必达法则。例如，对于
显然 f(u)\sim f(v)，但 v'(0)=0，不满足条件一。
另一方面，f(t)=1-\cos t 的一阶导数在 0 处为零，却也能保持等价关系。我们需要把视线从“一阶导数非零”，转向“函数在 0 附近由什么主项决定”。
特别要注意：仅仅保留 u'/v'\to1，并不能完全取消对 f 的要求。第 1 节的反例中，
但复合后的函数仍然不等价。
4. 第二种条件：有限阶首个非零导数，用泰勒公式证明
当一阶导数为零时，主导函数变化的项可能是二次项、三次项，或者更高的有限次项。只要能够找到这个非零主项，就不必再对输入函数求导。
条件二
设 f 在 0 的某个邻域内 m 次连续可导，其中 m 为正整数，并且
那么，对任意满足 u\sim v\to0 的函数 u,v，都有
这里不再要求 u,v 连续或可导。
证明：先找到主项，再比较比值
由带 Peano 余项的泰勒公式，
由于低阶导数均为零，
等价地，可以写成
将 u(x) 和 v(x) 分别代入，得到
因为 u,v\to0，所以
因此
证毕。
这里 C\ne0、r(t)\to0，保证了 f(t) 在充分小的去心邻域内非零。配合等价关系中 u,v 最终非零的约定，所有比值都有定义。
这个证明的核心是
有限阶非零导数提供了一种可靠的方法，使我们能够找到这个主项。
第二种条件怎样放宽了第一种条件？
把“存在某个正整数 m”作为整体条件来看，条件二包含条件一中的外层函数情形：只需取 m=1，就得到 f'(0)\ne0。
同时，条件二做了两项放宽：
- 对输入函数，只保留 u\sim v\to0，取消连续可导及原点处非零导数的要求；
- 对外层函数，允许一阶导数为零，只要求某个有限阶导数第一次出现非零值。
这里的“更弱”是指允许的函数范围更广，并不是说对每个固定的 m>1，m 次连续可导比一次连续可导更弱。
例如，取
输入满足 u\sim v\to0，而
条件二适用，立即得到
这个例子同时避开了条件一中的 v'(0)\ne0 和 f'(0)\ne0 两项限制。
5. 第三种条件：从有限阶主项走向充要条件
条件二很有用，但仍然不是必要条件。
例如，
它在 0 附近连续可导，且 f'(0)=0，但在 0 处不存在二阶导数，所以不满足条件二。
然而，对任意 u\sim v\to0，
这说明，有限阶非零导数只是保证结论成立的一种机制。要找到必要条件，我们应当直接刻画输入与输出的相对误差之间的关系。
条件三：相对误差的一致控制
设 f 定义在 0 的某个去心邻域内，满足 f(t)\to0，并在充分小的去心邻域内非零。考虑以下条件：
对任意 \varepsilon>0，都存在 \delta\in(0,1) 和 \eta>0，使得
能够推出
其中，\eta 取得足够小，使 f 在相应范围内有定义且非零。
条件中的 \delta,\eta 可以依赖于目标精度 \varepsilon，但不能依赖于具体选择的 s,t。它要求：在足够小的邻域内，用同一个输入相对误差阈值，就能统一控制输出相对误差。
定理：条件三成立，当且仅当对任意满足 u\sim v\to0 的函数 u,v，都有 f(u)\sim f(v)。
这里“任意”至关重要：我们刻画的是 f 保持所有这类等价关系的性质，而不是只针对某一对固定输入。
充分性证明
设条件三成立，并且 u\sim v\to0。
任取 \varepsilon>0，由条件三选取相应的 \delta,\eta。因为
当 x 充分接近 0 时，
并且
代入条件三，
由 \varepsilon 的任意性，
必要性证明
反过来，假设 f 对任意 u\sim v\to0 都保持等价关系，但条件三不成立。
那么存在某个 \varepsilon_0>0，无论怎样缩小邻域和输入的相对误差阈值，都能找到使输出相对误差至少为 \varepsilon_0 的一对输入。
据此，可以选取非零数列 s_n,t_n，满足
但
选取时还将邻域限制在 f 有定义且非零的范围内。
于是
但输出比值不趋于 1。
为把这两个数列变成所需的函数，对每个 n\ge1，在
上定义
当 x\to0 时，相应的 n\to\infty，因此
然而，
始终成立。这与 f 保持任意等价无穷小关系的假设矛盾。
所以条件三必须成立。必要性得证。
这里允许使用阶梯函数，是因为第三种条件讨论任意满足极限关系的 u,v，并没有附加连续性或可导性要求。
为什么条件三更一般？
第二种条件已经保证了对任意 u\sim v\to0，复合后仍等价；由刚刚证明的必要性，条件二必然推出条件三。
反过来，f(t)=|t|^{3/2} 对所有这类输入都保持等价，因而满足条件三，却不满足条件二。于是，条件三覆盖的外层函数范围确实更广。
与第二种条件相比，第三种条件不再要求导数存在，也不要求出现某个有限整数次幂的非零主项。它直接表达了结论需要的相对误差控制。
这也是它作为充要条件的意义：在“对所有 u\sim v\to0 均成立”的要求下，这一条件本身就是必需的。
6. 条件由强到弱，究竟放宽了什么？
三种方法可以整理为下面的关系。表中始终以 u\sim v\to0 为输入的基本假设。
| 方法 | 对u,v 的附加要求 | 对f 的要求 | 证明的关键 |
|---|---|---|---|
| 条件一：洛必达法 | C^1，在 0 处取零，且 v'(0)\ne0 | C^1，f(0)=0，f'(0)\ne0 | 先证明两个导数比值都趋于1 |
| 条件二：泰勒公式 | 无 | 存在某个m\ge1，满足有限阶首个非零导数条件 | 得到f(t)\sim Ct^m，比较主项 |
| 条件三：充要条件 | 无 | 趋于零、在去心邻域非零，且满足相对误差的一致控制 | 直接控制输出比值，反向用数列构造反例 |
第一步到第二步的动机，是去掉为了对复合函数直接求导而引入的限制。函数具有可用的主项时，直接比较函数值就足够了，不必研究输入函数的导数。
第二步到第三步的动机，是避免把某一种方便的充分条件误认为问题的全部。有限阶主项能够解释许多例子，但无法覆盖所有保持等价关系的函数；相对误差的一致控制才给出了完整刻画。
因此，可以把逻辑关系写成
第一处蕴含取 m=1 即可，第二处蕴含由条件二的结论及条件三的必要性得到。前文的两个例子分别说明，反向蕴含一般不成立。
7. 为什么第二种条件更适合实际计算？
在常见的初等函数极限题中，第二种条件通常最有实用价值。
第一种条件的限制较多，还需要验证输入函数的导数行为。第三种条件虽然最一般，但其量词结构不一定便于直接检验。第二种条件则能与常用的泰勒展开、等价无穷小公式直接衔接：
| 外层函数f(t) | t\to0 时的非零主项 | 推出 |
|---|---|---|
| \ln(1+t) | t | \ln(1+u)\sim\ln(1+v) |
| 1-\cos t | t^2/2 | 1-\cos u\sim1-\cos v |
| e^t-1-t | t^2/2 | e^u-1-u\sim e^v-1-v |
| \sin t-t | -t^3/6 | \sin u-u\sim\sin v-v |
表中每项都以 u\sim v\to0 为前提，并在相应函数的定义域内讨论。
实际使用时，通常不必重新逐阶验证导数条件。只要已经知道
就能立即得到
所以，最常用的操作是找出外层函数的第一个非零主项，再比较输入的比值。
不过，这仍然是一个有适用条件的替换规则，不能仅凭 u\sim v 就在任意函数内部替换，也不能把等价关系当成等式随意相减。例如，
依赖的是三阶主项；若只把 \sin u 替换成 u，再相减得到 0，恰好会丢掉真正决定这个极限的项。
对初等极限计算而言，第二种条件在适用范围与检验难度之间提供了很好的平衡。充要条件帮助我们理解边界，泰勒主项则帮助我们有效计算。