在极限与导数的题目中，我们常常遇到这样的条件：一个包含未知函数的式子，极限等于某个常数。接下来需要求函数值、导数，或者另一个极限。
这时有一个很实用的想法：引入一个趋于零的误差函数，把极限条件写成精确等式，再进行代数运算。
例如，已知
就可以写成
这样，极限过程被保存在误差函数的性质中，等号两边则可以直接移项、相乘、相除。
下面从一道具体的题目出发，看看这种写法为什么成立，又怎样帮助我们解题。
一、从一道题说起
**题目：**设函数 f 在 x=0 处连续，且
求 f(0) 和 f'(0)。
题设给出的是整个括号的极限。由于其中可能存在发散项之间的抵消，我们不能预先把它拆成两个极限相加。
但可以把整个括号看成一个函数。由它的极限等于 2，引入一个无穷小量 \alpha(x)，使得
这里的等式对定义域内充分接近 0 的非零 x 成立。两边乘以 x，再移项，得到
现在，未知函数 f(x) 已经被单独表示出来了：前面是可以处理的已知函数，后面是一个受到控制的误差项。
1. 利用连续性和定价无穷小求函数值
当 x\to0 时，
因此
再由 f 在 0 处连续，得到
这里，连续性负责把去心邻域中的极限信息与点上的函数值联系起来。原来的极限条件不涉及 f(0)，单凭它无法确定点上的取值。
2. 利用导数定义求导数
把刚才得到的表达式代入差商：
其中 \alpha(x)\to0。只要证明
就能得到差商的极限。
利用 \sin x 在 x=0 处的泰勒展开：
可得
于是
整个推导还证明了 f 在 0 处可导，因此不需要预先假设导数存在。
二、为什么极限可以写成等式？
这个技巧的依据，就是极限与无穷小量之间的关系：
证明很直接。若左边成立，定义
那么
是一个精确等式，而极限条件保证 \alpha(x)\to0。
反过来，若有这样的表示，由极限的运算法则便有
因此，这两种写法包含相同的信息。所谓“把极限写成等式”，就是把“函数趋近于 A”改写为“函数与 A 的差趋近于零”。
需要留意，\alpha(x) 是一个随 x 变化的函数。虽然它趋于零，但在 x\ne x_0 时，它通常并不等于零。保留它，才使等号成立。
三、用小 o 记号记录误差的大小
在原题中，我们得到了
注意到
所以 x\alpha(x) 相对于 x 是高阶无穷小。这通常记为
更准确地说，写
就表示
因此，原题中的等式可以简写为
这里的 o(x) 表示某个满足上述条件的误差函数。它允许我们暂时不写出误差的具体形式，同时保留后续运算需要的信息。
这一点尤其适合求导数：差商要除以 x，而 o(x) 除以 x 之后仍然趋于零。
相应地，只表示“趋于零”时，可以写成 o(1)：
四、一个更通用的转换公式
把上面的想法推广一步。假设在考察的去心邻域内 \varphi(x)\ne0，那么
这里，r(x)=o(\varphi(x)) 的含义是
推导只需要两步。先写
再乘以 \varphi(x)：
最后一项正是 o(\varphi(x))。
这个公式的作用，是把商的极限变成一个带有误差控制的函数表达式。原题也属于这种情形，因为条件可以整理成
于是直接得到
五、使用这个技巧时，要控制到哪一阶？
无穷小量的写法很方便，但后续运算会改变误差的大小。判断误差是否可以忽略，需要看它最终会被怎样处理。
1. 趋于零的误差，除以 x 后可能不再趋于零
例如，r(x)=x 满足 r(x)\to0，但
所以，知道
还不足以断定 f'(0)=a。求一阶导数时，需要的余项控制是
这样，差商中的误差才会趋于零。
2. 相减后再相除，需要特别检查误差
在原题中，\sin x/x\to1 足以帮助我们求出 f(0)。求导数时，还要研究
仅凭 \sin x/x\to1，无法确定这个式子的极限。前面利用泰勒展开得到的
恰好补上了所需的信息，也就是
因此，我们才能进一步写出
这也提醒我们：在含有相减抵消的表达式中，直接进行等价替换，必须检查被省去的误差在后续运算中是否仍然趋于零。
3. 不要对未知余项直接求导
由
求 f'(0) 时，应当回到导数定义。小 o 记号只规定余项相对于 x 的大小，并不保证它在附近可导，也不保证其导数趋于零。
例如，令
则 r(x)=o(x)，但当 x\ne0 时，
它在 x\to0 时并不趋于零。即使余项可以求导，也不能只凭 r(x)=o(x) 就对其导数作出同样的判断。
另外，不同位置的 o(x) 可以代表不同的误差函数，不能把两个仅仅同记为 o(x) 的项直接相消。
写在最后
这种方法给我最直接的启发，是遇到极限条件时，可以先把其中“趋近”的信息拆开：极限值提供确定的部分，无穷小量记录剩下的误差。
一旦写成等式，许多原本纠缠在一起的式子就可以先用代数方法整理。随后根据目标，判断误差在取极限、除以 x 等运算之后会发生什么。
尤其在求导数时，导数定义本身就可以写成
右边把函数在一点附近的变化分成了线性部分与更高阶的误差。这也是“把极限写成等式”值得记住的地方：它让抽象的极限条件，变成了可以直接操作、同时又保留精度信息的表达式。