从一道极限问题出发，看看“有限”换成“无穷”之后，究竟改变了什么。
学习极限的运算法则时，我们会遇到这样一个结论：
有限个无穷小量的乘积，仍然是无穷小量。
这里的“有限个”似乎有些多余。既然每个因子都越来越小，多乘几个，结果不应该更小吗？那么，无穷多个无穷小量相乘，是否也一定是无穷小量？
答案是：仅凭每个因子都趋于零，不能保证这一点。 更进一步，如果不先说明无穷乘积的含义，这个问题本身还没有被完整定义。
1. 无穷小不是一个很小的数
首先要分清两个概念：一个数很小，与一个量趋于零，并不是一回事。
例如，10^{-100} 虽然很小，却是一个非零常数；而 1/n 在 n\to\infty 时才是无穷小量。
说 a_k(x) 是无穷小量，必须指定极限过程。本文讨论的是：对每个固定的正整数 k，都有
这里有两个不同的变量：x 控制趋近过程，k 标记第几个因子。固定 k 后让 x\to0，与固定 x 后考察所有 k，是两件不同的事。
后面的疑问，正出在这个区别上。
2. 有限个因子的证明，依赖了什么？
先考虑固定的 m 个因子：
因为每个因子都趋于零，所以对每个 k，存在 \delta_k>0，使得
因子只有有限个，因此可以取
当 0<|x|<\delta 时，所有因子就同时小于 1/2。于是
注意，证明不只是说“它们都趋于零”，还做了一件关键的事：找到一个共同的邻域，让所有因子同时受到控制。
有限个正数的最小值仍然为正，保证了这个步骤能够完成。
3. 无穷多个因子，卡在了哪里？
如果有无穷多个因子，我们会得到无穷多个正数
但它们的下确界可能是零。例如，当 \delta_k=1/k 时，
所以，逐个因子的极限条件，并没有保证存在一个共同的正数 \delta，使所有因子同时变小。
用量词写，这个区别尤其清楚。已知的是：
而想要直接使用“越乘越小”的直觉，需要的是：
前一句允许每个因子有自己的范围；后一句要求一个范围适用于所有因子。“对每个，都存在”不能随意换成“存在一个，对所有”。
这里还要谨慎一点：选出一组下确界为零的 \delta_k，并不能单独证明共同邻域不存在，因为这些范围可能选得过小。上述分析说明的是，现有条件没有保证共同邻域存在，也就无法照搬有限情形的证明。
要真正否定原命题，还需要一个满足条件而结论不成立的例子。
4. 先说明什么叫“无穷多个相乘”
无穷乘积不是一次完成无穷次乘法，而是先定义部分乘积
再考察极限
只有这个极限在所讨论的 x 上存在，才能继续问 P(x) 是否在 x\to0 时趋于零。
本文允许部分乘积极限取零，并在这种情况下说“乘积的值为零”。一些教材把“无穷乘积收敛”专门定义为部分乘积极限存在且非零，阅读时需要留意术语约定。
因此，问题实际上涉及两个极限过程：
- N\to\infty：把越来越多的因子乘进去；
- x\to0：让每个固定因子趋于零。
这两个过程不能未经证明就交换次序。
5. 一个不断向后移动的大因子
为了让构造更清楚，把趋近过程换成 n\to\infty。对正整数 k,n，定义
把前几行列出来：
| n | a_1(n) | a_2(n) | a_3(n) | a_4(n) | 后续因子 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1/2 | 2 | 1 | 1 | 全为1 |
| 3 | 1/3 | 1/3 | 9 | 1 | 全为1 |
| 4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 64 | 全为1 |
先沿着固定的一列看。任意固定 k，只要 n>k，就有
所以，每个 a_k 确实都是同一个极限过程中的无穷小量。
再沿着一行相乘。对每个固定的 n，第 n 个因子之后全是 1，因此无穷乘积存在，且
每个固定因子都趋于零，但乘积始终为 1。
这并不矛盾：固定位置上的因子最终会变小，但每一行都有一个大因子，它的位置随着 n 不断向后移动。 逐个观察任何一列，都会错过这个一直向后移动的大因子对整体的影响。
6. 从两个极限的次序看同一个反例
记
固定 N，当 n>N 时，前 N 个因子都等于 1/n，所以
因此，先让 n\to\infty，再让 N\to\infty，得到
另一方面，固定 n，当 N\geq n 时，大因子已经被乘进去，故 P_N(n)=1。于是
两个次序给出了不同结果。有限乘法的极限法则并没有失效；失效的是把它直接延伸到无穷多个因子，相当于默认交换了这两个极限。
7. 加上什么条件，直觉就成立了？
一个简单的充分条件是：存在共同的 \delta>0 和常数 q\in(0,1)，使得
此时，对于每个这样的 x，都有
于是 P(x)=0，自然也有 P(x)\to0。
这个条件足够强，甚至不需要另外使用每个因子趋于零的性质。不过它只是充分条件，并不是必要条件；乘积趋于零还可能有其他原因。
所以，“越来越多的小数相乘，结果越来越小”的直觉本身没有问题。问题在于，无穷小的定义并不保证在同一个时刻，所有因子都已经小于某个共同的 q<1。
8. 这道题值得记住什么？
这次讨论中，最容易混淆的其实是三个层次：
- 原来的证明无法推广：无穷多个邻域未必包含一个共同邻域。
- 原命题确实不成立：需要反例来落实，不能只说“证明卡住了”。
- 怎样补上条件得到正确命题：例如统一控制所有因子的绝对值。
以后再遇到把“有限”换成“无穷”的问题，可以先问：原证明是否取了有限个量的最小值？是否需要所有对象同时满足某个条件？是否悄悄交换了两个极限？
这个问题的难点并不在乘法，而在于区分：每一个分别趋于零，与整体的乘积趋于零，究竟隔着什么条件。