一、原题与出处
出处： 2022年第十四届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类），填空题第1题，满分6分。
求极限：
\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{1+x^2-\cos^2x}
}
二、解题思路
先将分母等价替换为 2x^2，再在分子中加减 \sqrt{1-x^2}，将乘积与1的差拆成两个熟悉的无穷小，分别计算极限。
核心恒等式为：
1-ab=(1-a)+a(1-b).
三、完整解答
1. 化简分母
由三角恒等式 1-\cos^2x=\sin^2x，有
1+x^2-\cos^2x=x^2+\sin^2x.
由于 x\to0 时 \sin x\sim x，故
\frac{x^2+\sin^2x}{2x^2}
=\frac12\left[1+\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\right]
\longrightarrow1.
因此，分母整体满足
1+x^2-\cos^2x\sim2x^2,
原极限可化为
\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{2x^2}.
2. 分子加减同一项
在分子中加减 \sqrt{1-x^2}：
\begin{aligned}
1-\sqrt{1-x^2}\cos x
&=1-\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}
-\sqrt{1-x^2}\cos x\\
&=\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)
+\sqrt{1-x^2}(1-\cos x).
\end{aligned}
于是
\frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{2x^2}
=
\frac12\left[
\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}
+\sqrt{1-x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}
\right].
3. 分别求极限
对于第一项，有理化得
\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}
=
\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}
\longrightarrow\frac12.
也可以使用等价无穷小公式：由 (1+u)^\alpha-1\sim\alpha u，令 u=-x^2、\alpha=\frac12，得
1-\sqrt{1-x^2}\sim\frac{x^2}{2}.
对于第二项，由
\sqrt{1-x^2}\longrightarrow1,
\qquad
\frac{1-\cos x}{x^2}
=\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2
\longrightarrow\frac12,
可得
\sqrt{1-x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}
\longrightarrow\frac12.
两项极限均存在，因此
\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{1+x^2-\cos^2x}
=
\frac12\left(\frac12+1\cdot\frac12\right)
=\frac12.
}
四、可直接抄写的简洁版
解： 当 x\to0 时，
1+x^2-\cos^2x=x^2+\sin^2x\sim2x^2.
故
\begin{aligned}
原式
&=\lim_{x\to0}
\frac{1-\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}(1-\cos x)}{2x^2}\\
&=\frac12\left[
\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}
+\lim_{x\to0}\sqrt{1-x^2}\frac{1-\cos x}{x^2}
\right]\\
&=\frac12\left(\frac12+1\cdot\frac12\right)\\
&=\boxed{\frac12}.
\end{aligned}
五、关键理解与易错点
1. 为什么要加减同一项？
原分子是两个趋于1的量之差，直接代入只能得到0，无法看出它的无穷小阶数。
利用
1-ab=(1-a)+a(1-b),
取 a=\sqrt{1-x^2}、b=\cos x，就能把原分子拆成两项。它们分别满足
1-\sqrt{1-x^2}\sim\frac{x^2}{2},
\qquad
\sqrt{1-x^2}(1-\cos x)\sim\frac{x^2}{2}.
两项共同贡献了分子的二阶主项。
2. 为什么不能直接把根式替换为1？
虽然 \sqrt{1-x^2}\to1，但在
1-\sqrt{1-x^2}\cos x
中直接把根式换成1，会丢掉与 x^2 同阶的贡献。若这样错误地处理，便会算出 \frac14，而正确答案是 \frac12。
拆分后，根式出现在乘积
\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}
中，而第二个因子具有有限极限，此时才可以根据乘积极限法则，将根式的极限取为1。
3. 等价关系不等于恒等关系
应写
1+x^2-\cos^2x\sim2x^2,
不能写成对所有邻近 x 都成立的精确等式。等价替换用于求极限，不表示两个表达式本身相等。