设我们讨论的是
\lim_{x\to a^+}f(x)=L.
右极限版本的海涅定理通常表述为：
\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=L，当且仅当对任意从右侧严格递减趋于 a 的数列 (x_n)（各项在函数定义域内），都有 f(x_n)\to L。
它表达的是：为了判断右极限，只检查所有这样的递减数列，就已经足够了。
原因在于：如果右极限不等于 L，那么就存在某个 \varepsilon_0>0，使得无论在 a 的右侧取多小的邻域，都能找到一个定义域内的“坏点” x，满足
|f(x)-L|\ge\varepsilon_0.
既然坏点可以任意靠近 a，就可以依次选取坏点，使
a<x_1<a+1,
以及
a<x_{n+1}<\min\left\{x_n,\ a+\frac1{n+1}\right\}.
这样选出的数列严格递减，且由
0<x_n-a<\frac1n
可知 x_n\to a。然而每一项都满足
|f(x_n)-L|\ge\varepsilon_0,
所以 f(x_n) 不可能趋于 L。
也就是说，只要右极限出了问题，就一定能找到一条递减数列把问题暴露出来。 这就是书上只检查递减数列也成立的原因。
因此，你提出的非单调数列当然可以；书上的定理是在说“检查所有递减数列已经足够”，而不是说“只有递减数列才能使用海涅定理”。
另外，两种表述中的 “任意” 都很关键：只验证某一条数列，一般不能证明函数的右极限存在。