摘要：闭区间上的连续函数能够取到最大值，可以沿用有界性引理的证明思路：先由上确界性质选出函数值趋于上确界的数列，再从相应的自变量数列中抽出收敛子列，最后利用连续性得到最大值点。这里真正需要解释的是：为什么“可以任意逼近”，最终能变成“确实能够取到”？
最值定理告诉我们：若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续，则它在这个区间上有最大值与最小值。
教材在证明这个定理之前，先证明了一个有界性引理：闭区间上的连续函数必定有界。
引理采用反证法。反设 f 无界，那么它或者无上界，或者无下界；后一种情形只需把 f 换成 -f，所以不妨设 f 无上界。于是，可以对每个正整数 n 选取 x_n\in[a,b]，使
因为 \{x_n\} 有界，可以抽出收敛子列 x_{n_k}\to x_0；又因为区间是闭的，x_0 仍在 [a,b] 内。于是，连续性要求
但 f(x_{n_k})>n_k\to+\infty，矛盾。
读到这里，我想到：既然引理已经使用了“选数列、抽子列、用连续性”的方法，证明最大值存在时，是否也能沿用它？
引理中，我们让函数值趋于无穷大。如果现在让函数值趋于上确界，再利用连续性，是否就能找到一个真正取到上确界的点？
这个想法是成立的。不过，需要先弄清楚上确界究竟保证了什么。
由有界性引理，f 的值域非空且有界。根据实数的确界原理，可以记
M 是一个有限实数，并且对所有 x\in[a,b]，都有 f(x)\le M。我们接下来的目标，是证明存在 x_0\in[a,b]，使 f(x_0)=M。
由于 M 是最小的上界，对任意 \alpha>0，M-\alpha 都不可能仍是上界。因此，必定存在 x\in[a,b]，满足
这里有一个容易混淆的地方：上确界性质并不保证 M-\alpha 本身是某个函数值，它保证的是存在函数值落在 (M-\alpha,M] 中。
例如，对常值函数 f(x)\equiv1，上确界是 1，但任何 1-\alpha（\alpha>0）都取不到。尽管如此，函数值 1 仍然满足上面的不等式。
这已经足够构造我们需要的数列了。
对每个正整数 n，取 \alpha=1/n，便可以选出 x_n\in[a,b]，使
由夹逼定理，
到这里，我们已经把“函数值可以任意接近上确界”，变成了一个明确的数列极限。
但证明还没有结束。f(x_n)\to M 只说明函数值的趋向，并不能单独保证存在某个点取到 M，也不能保证 x_n 收敛。例如，对 [-1,1] 上的函数 f(x)=x^2，取 x_n=(-1)^n，函数值始终等于 1，而自变量数列并不收敛。
所幸，我们只需要一个收敛子列。
因为 x_n\in[a,b]，数列 \{x_n\} 有界。由有界数列的收敛子列定理，存在子列 \{x_{n_k}\}，使
又因为
令 k\to\infty，得到 a\le x_0\le b，所以 x_0 仍属于定义域。
一方面，收敛数列的任意子列都收敛于同一个极限。这是因为 n_k\ge k，当 k\ge N 时必有 n_k\ge N，原数列尾部的估计也就控制着子列的尾部。因此
另一方面，由 f 在 x_0 处连续，
由极限的唯一性，
这就证明了 f 在 [a,b] 上有最大值。由于 -f 同样连续，对 -f 使用上述结论，便得到 f 的最小值也存在。
这个证明中，三个条件分别承担了明确的工作：
| 条件 | 在证明中的作用 |
|---|---|
| 区间有界 | 保证\{x_n\} 有界，从而能抽出收敛子列 |
| 区间闭 | 保证子列的极限x_0 仍属于定义域 |
| 函数连续 | 保证f(x_{n_k})\to f(x_0) |
去掉这些条件后，结论就可能失败。
先看定义域无界的情形：
这个函数连续，定义域也是闭的，函数值还有界，但上确界 1 始终取不到。取 x_n=n，便有 f(x_n)\to1，而自变量数列没有收敛子列。
再看定义域不闭的情形。f(x)=x 在 [0,1) 上连续，其上确界是 1，却没有最大值。我们可以选出越来越接近 1 的点，但它们趋向的点 1 不在定义域中。
最后看连续性。在闭区间 [0,1] 上定义
它的上确界同样是 1，但取不到。此时取 x_n=1-1/(2n)，便有 1-1/n<f(x_n)<1，满足前面构造中要求的逼近不等式。虽然 x_n\to1 且 f(x_n)\to1，却有 f(1)=0。极限点留在了定义域中，但函数在这里不连续，最后一步等式便无法成立。
这些例子分别说明，证明中的每一步都需要相应的条件支持。
教材采用的倒数函数证明，也可以从这个角度理解。
假设上确界 M 取不到，那么对所有 x\in[a,b]，都有 f(x)<M。于是可以定义
g 在 [a,b] 上连续且为正。由有界性引理，存在 G>0，使
因此
也就是
这说明比 M 更小的数 M-1/G 也是上界，与 M 为上确界矛盾。
倒数函数的作用很清楚：上确界性质允许 M-f(x) 任意接近零；假如这个差始终为正，取倒数就会产生任意大的函数值，从而与连续函数的有界性冲突。
数列证明则直接沿着逼近过程走下去：选出越来越接近 M 的函数值，抽取相应自变量的收敛子列，再通过连续性确认极限点的函数值就是 M。
回头再看“任意逼近”，我发现其中还藏着一个量词上的差别：上确界性质告诉我，对每个 \alpha>0，都可以找到一个相应的点 x；我们想做的，正是把量词顺序换过来，要求存在同一个点 x_0，使它对所有 \alpha>0 都满足 M-\alpha<f(x_0)\le M。后一句等价于 f(x_0)=M。一般说来，这样的交换并不成立；在这里，是有界闭区间和连续性一起保证了它。
这个数列证明让我看清了两者之间的联系：先为不同的精度选择相应的点，再利用区间的有界性和闭性找到一个仍在定义域内的子列极限，最后借助连续性，确认这个极限点就是取到 M 的点。