1的代换中的几何直观

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基本不等式1的代换中的几何直观

题目

已知 $\frac{k_1}{x} + \frac{k_2}{y} = k, ax + by = c$

$a ≠ 0, b ≠ 0, k_1 ≠ 0, k_2 ≠ 0, k ≠ 0$

求c的最值

推导

∵ax + by = c

∴by = -ax + c

∴$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$

∵$\frac{k_1}{x} + \frac{k_2}{y} = k$

∴$k_1y + k_2x = kxy$

∴$y(kx - k_1) = k_2x$

∴$y = \frac{k_2x}{kx - k_1}$

∴$y = \frac{\frac{k_2}{k}(kx - k_1) + \frac{k_1k_2}{k}}{kx-k_1} = \frac{k_2}{k} + \frac{\frac{k_1k_2}{k}}{kx-k_1}$

故该方程的图像是反比例函数的平移

所以两函数有公共点时c的极值出现在两函数相切的位置