一、行星运动模型设定
行星绕恒星（或任意质点）运动时，若忽略其他天体扰动，其受力可近似为有心力：
\vec{F}(\vec{r}) = F(r)\,\hat{r}, \quad \hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}
其中 \vec{r} 是行星相对于力心（恒星）的位置矢量，r=|\vec{r}|，力的大小 F(r) 仅与距离有关，方向始终沿径向。
由牛顿第二定律：
m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(r)\hat{r}
二、极坐标系下的牛二律
在行星运动（有心力）问题中，直角坐标系会引入不必要的耦合，而极坐标 (r,\theta) 天然契合径向对称性。下面严格推导极坐标系下的牛顿第二定律，并展示其如何自然导出角动量守恒与径向运动方程。
1.基底及其时间依赖性
极坐标由径向单位矢量 \hat{e}_r 与横向单位矢量 \hat{e}_\theta 张成：
\begin{aligned}
\hat{e}_r &= \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j} \\
\hat{e}_\theta &= -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}
\end{aligned}
关键性质：它们随角度 \theta(t) 变化，对时间求导得：
\frac{d\hat{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\hat{e}_\theta, \quad
\frac{d\hat{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\hat{e}_r
2.运动学推导
<1>. 位置矢量
\vec{r} = r\,\hat{e}_r
<2>. 速度矢量
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{r}\hat{e}_r + r\frac{d\hat{e}_r}{dt}
= \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta
- 径向分量：\dot{r}（距离变化率）
- 横向分量：r\dot{\theta}（切向速率）
<3>. 加速度矢量
对 \vec{v} 再次求导：
\begin{aligned}
\vec{a} &= \frac{d\vec{v}}{dt} \\
&= (\ddot{r}\hat{e}_r + \dot{r}\dot{\hat{e}}_r) + (\dot{r}\dot{\theta}\hat{e}_\theta + r\ddot{\theta}\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}\dot{\hat{e}}_\theta) \\
&= (\ddot{r}\hat{e}_r + \dot{r}\dot{\theta}\hat{e}_\theta) + (\dot{r}\dot{\theta}\hat{e}_\theta + r\ddot{\theta}\hat{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\hat{e}_r) \\
&= \underbrace{(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)}_{\text{径向加速度}}\hat{e}_r
+ \underbrace{(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})}_{\text{横向加速度}}\hat{e}_\theta
\end{aligned}
3.牛顿第二定律的极坐标分量形式
将 \vec{F} = F_r\hat{e}_r + F_\theta\hat{e}_\theta 与 m\vec{a} 按基底投影：
\boxed{
\begin{aligned}
\text{径向：} &\quad F_r = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \\
\text{横向：} &\quad F_\theta = m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})
\end{aligned}}
这是极坐标下牛二定律的标准表达式，适用于任意平面运动。
三、有心力特例：角动量守恒与径向方程
对有心力 \vec{F} = F(r)\hat{e}_r，必有 F_\theta = 0。代入横向方程：
r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0
\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta}) = 0
积分得：
\boxed{r^2\dot{\theta} = h = \text{常数}}
这正是单位质量角动量守恒的极坐标表达（\vec{L} = m r^2 \dot{\theta} \,\hat{k}）。
四、走向一般化：角动量定理
4.1 角动量定理的矢量表述与守恒条件
定义行星相对于力心的角动量矢量：
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})
对时间求导，利用乘积法则与牛顿第二定律：
\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{v} \times m\vec{v} + \vec{r} \times m\vec{a} = \vec{r} \times \vec{F} \equiv \vec{\tau}
此即角动量定理：外力对力心的力矩等于角动量的时间变化率。
五、回顾有心力场
对于有心力 \vec{F} = F(r)\hat{e}_r，力矩为：
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = r\hat{e}_r \times F(r)\hat{e}_r = \vec{0}
由 \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0} 可知 \vec{L} 为常矢量。在平面运动中，\vec{L} 垂直于轨道平面，其模长守恒：
L = |\vec{L}| = m r^2 \dot{\theta} \quad \Rightarrow \quad r^2\dot{\theta} = \frac{L}{m} = h
这与第三部分结论一致，但此处从矢量交叉积的几何性质给出了更本质的解释：有心力对力心的力矩恒为零，是角动量守恒的物理根源。该结论不依赖坐标选择，具有普适性。
